Cho n > 1, tập xác định T gồm n đoạn nửa mở được định nghĩa là:

T = [ a 1 , b 1 ) × [ a 2 , b 2 ) × ⋯ × [ a n , b n ) ⊆ R n . {\displaystyle T=\left[a_{1},b_{1}\right)\times \left[a_{2},b_{2}\right)\times \cdots \times \left[a_{n},b_{n}\right)\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}

Chia mỗi đoạn [aj, bj) thành một tập Ij các khoảng nhỏ không trùng nhau ijα, trong đó các khoảng nhỏ này đóng bên trái và mở bên phải.

Sau đó, một tập hợp phần tử hữu hạn C được xác lập

C = I 1 × I 2 × ⋯ × I n {\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}

là một tập con của T; trong đó Ck là các phần không trùng nhau và tập hợp của chúng là T.

Cho một hàm f: T → R xác định trên T, trong đó tập con C của T được xác định như trên, như vậy C là một tập có m phần tử Cm và

T = C 1 ∪ C 2 ∪ ⋯ ∪ C m {\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}}

Chúng ta có thể tính gần đúng thể tích tổng thứ n-chiều được giới hạn bên dưới bởi T và bên trên bởi f theo tổng Riemann:

∑ k = 1 m f ( P k ) m ⁡ ( C k ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}

với Pk là điểm ở Ck và m(Ck) là tích của số đoạn Ck.

Đường kính của một đoạn con Ck là chiều dài lớn nhất trong các khoảng mà tích Descartes bằng Ck. Đường kính của một phân vùng cho trước T được định nghĩa là đường kính lớn nhất của các đoạn con trong phân vùng đó. Bằng trực giác, khi đường kính của phân vùng C được giới hạn càng ngày càng nhỏ, số lượng các đoạn con m càng lớn, và số đo m(Ck) của mỗi đoạn con lại càng nhỏ. Hàm f được gọi là khả tích Riemann của f trên T nếu tồn tại giới hạn

S = lim δ → 0 ∑ k = 1 m f ( P k ) m ( C k ) {\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} \,(C_{k})}

, khi giới hạn tiếp nhận tất cả các phân vùng có thể có của T với đường kính tối đa là δ.[3]

Nếu f khả tích Riemann thì S được gọi là tích phân Riemann của f trên T và được ký hiệu là

∫ ⋯ ∫ T f ( x 1 , x 2 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \int \cdots \int _{T}\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\!\cdots dx_{n}}

Có thể viết ngắn gọn là ℓ = ∭ T f ( x , y , z ) d x d y d z {\displaystyle \ell =\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}

∫ T f ( x ) d x . {\displaystyle \int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} .}

với x là số biến (x1,... xn) và dnx là vi phân thể tích n-chiều.

Tích phân Riemann của một hàm được xác định trên một tập n-chiều bị chặn tùy ý mà có thể được định nghĩa bằng cách mở rộng hàm đó thành một hàm được xác định trên một đoạn nửa mở có giá trị là zero bên ngoài miền của hàm ban đầu. Thì tích phân của hàm ban đầu trên miền gốc được xác định là tích phân của hàm mở rộng trên miền chữ nhật của nó, nếu nó tồn tại.

Trong phần tiếp theo tích phân Riemann trong không gian n-chiều sẽ được gọi tích phân bội.

Tính chất

Tích phân bội có nhiều tính chất chung với các tích phân của các hàm một biến (tuyến tính, giao hoán, đơn điệu, vv.). Một tính chất quan trọng của tích phân bội là giá trị của một tích phân độc lập với thứ tự của các hàm lấy tích phân dưới những điều kiện nhất định. Tính chất phổ biến này được gọi là định lý Fubini.[4]

Các trường hợp đặc biệt

Trong trường hợp T ⊆ R2, tích phân

ℓ = ∬ T f ( x , y ) d x d y {\displaystyle \ell =\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy}

là tích phân kép của f trên T, và nếu T ⊆ R3 thì tích phân

ℓ = ∭ T f ( x , y , z ) d x d y d z {\displaystyle \ell =\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}

là tích phân bội ba của f trên T.

Theo quy ước, tích phân kép có hai dấu tích phân, và tích phân bội ba có ba dấu; đây là một quy ước ký hiệu cực kỳ tiện lợi khi tính toán một tích phân bội như là tính một tích phân được lặp, mà sẽ được chứng minh sau trong bài viết này.